lunes, 30 de mayo de 2011

4.4 radio de Convergencia


En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n, con a_n,x,x_0\in\mathbb{R}, viene dado por la expresión:
R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |}

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n, con a_n,x,x_0\in\mathbb{R}, recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que x − x0 | < r, donde r es un número real llamadoradio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0r = 0. Si lo hace para cualquier valor de xr = \infty \,\!

[editar]Ejemplos

Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.

[editar]Radio de convergencia finito

La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x − x0 = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+....
(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es r = 1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x0 = 0 es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho
\sum_{n=0}^\infty 0.25^n=1+0.25+0.25^2+0.25^3+...=\frac{4}{3}.
(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado
\frac{1}{1-0.25}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}.
Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x = 2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:
\sum_{n=0}^\infty 2^n=1+2+2^2+2^3+...=\infty


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viernes, 27 de mayo de 2011

4.6 Series de Taylor

En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r)

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:
La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.


Serie de Taylor

miércoles, 25 de mayo de 2011

3.1.1 Área bajo la gráfica de una función

En matemática, la integración de una función no negativa, en el caso más simple, puede ser mirada como el área bajo la gráfica de una curva y el eje x. La Integral de Lebesgue es una construcción matemática que extiende el concepto de integración a una clase mucho más amplia de funciones, así como extiende los posibles dominios en las cuales estas integrales pueden ser definidas. Hace mucho que se sabe que para funciones no negativas con una curva suficientemente suave (como una función continua en intervalos cerrados) el área bajo la curva podía ser definida como la integral y calculada usando técnicas de aproximación de la región a través de rectángulos o polígonos. De todas maneras, como se necesitaba considerar funciones más irregulares (por ejemplo, como resultado de los limitados procesos del Cálculo o de la Teoría de Probabilidades), se hizo evidente que una aproximación más cuidadosa era necesaria para definir una integral que se ajustara a dichos problemas.
La integral de Lebesgue tiene un importante rol en el Análisis Real, y en muchas otras ramas de la Matemática. Su nombre es en honor a su creador, Henri Lebesgue (1875–1941).
La integral de una función f entre los límites de integración a y b pueden ser interpretados como el área bajo la gráfica de f. Esto es fácil de entender para funciones que nos son familiares como los polinomios, la exponencial o logarítmica, pero… ¿qué quiere decir para funciones un poco más exóticas o con comportamiento errático? En general, ¿cuál es la clase de funciones para las cuales el concepto de “área bajo la curva” tiene sentido? La respuesta a esta interrogante tiene importancia teórica y práctica fundamental.

viernes, 20 de mayo de 2011

3.1 Áreas


Área entre una función y el eje de abscisas


1. La función es positiva

parábola
Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:
integral definida
Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.

2. La función es negativa

representa gráfica
Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:
integral definida

3. La función toma valores positivos y negativos

representación gráfica
En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.
3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.

Área comprendida entre dos funciones

representación gráficaGRÁFICA
El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.
integral