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Para determinar el volumen de este tipo de sólidos, seguiremos un procedimiento similar al utilizado para el área de una región, aproximando el ``volumen'' de un sólido de revolución por medio de una suma de volúmenes de sólidos más elementales, en los que el volumen ya ha sido definido.
Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los sólidos elementales, suponiendo que el volumen de un disco circular es, por definición, el producto del área de la base por el espesor (o altura).
donde , con .
Sea un aumento de .
Consideremos ahora los discos circulares, cuyos sensores son, y cuyas bases tienen radios.
El volumen del ésimo disco es:
La suma
de los volúmenes de los discos nos da una aproximación al volumen del sólido de revolución.
Podemos suponer que mientras más delgados sean los discos, mayor será la aproximación de la suma anterior al volumen del sólido. Se tiene entonces la siguiente definición:
Si existe un número tal que dada exista para la cual
para toda partición de y todo aumento de , y con , este número es el volumen del sólido obtenido por revolución del área limitada por las gráficas de alrededor del eje .Si es la función dada por para , entonces la suma de aproximación:
utilizada en la definición del volumen del sólido de revolución, puede escribirse como:
donde .
Luego, de la definición de integral y de la definición de dada, se tiene que
El sólido generado se muestra en la siguiente figura:
Sea una partición del intervalo determinada por el conjunto de números con para , y sea un aumento de .
En este caso, los sólidos elementales usados para obtener una suma de aproximación del volumen del sólido de revolución, serán anillos circulares.
Se muestra a continuación el ésimo rectángulo y el ésimo anillo circular generado al rotar aquel alrededor del eje .
Luego, el área del anillo circular es:
por lo que el volumen del ésimo elemento sólido será:
Entonces, la suma de aproximación para el volumen del sólido de revolución es:
Puede suponerse que mientras más delgados sean los anillos circulares, mayor será la aproximación de la suma anterior al volumen del sólido.
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Si es la función dada por para , entonces la suma de aproximación
utilizada en la definición 8, puede escribirse como:
donde , .
Luego se tiene que:
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